Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁∈（0，1），a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊）
（I）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)b_n=a_n

3-2an

，判斷數(shù)列{b_n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）  由已知a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊），遞推公式兩邊同減去1得出，a_n+1-1=

1-an

2

=-

1

2

 (an -1)，，判斷出{a_n-1}為等比數(shù)列．先求出{a_n-1}的通項(xiàng)公式，再求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ） 判斷數(shù)列{b_n}的單調(diào)性，可以轉(zhuǎn)化為考慮{b_n²}的單調(diào)性，應(yīng)判斷出 b_n=的正負(fù)性，結(jié)合不等式的性質(zhì)證明．

解答：解：（Ⅰ） 已知a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊），遞推公式兩邊同減去1得出，
a_n+1-1=

1-an

2

=-

1

2

 (an -1)，
故{a_n-1}為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a₁-1，公比為-

1

2

，
根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得{a_n-1} 的通項(xiàng)公式為
 an-1=(a1-1)(-

1

2

)n-1
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為
an=1+(a1-1)(-

1

2

)n-1
（Ⅱ）是遞增數(shù)列．
證明如下：
∵0＜a₁＜1，
∴-1＜a₁-1＜0，
又當(dāng)n≥2時(shí)，(-

1

2

)n-1＞-

1

2

根據(jù)不等式的性質(zhì)得出
0＜(a1-1)(-

1

2

)n-1＜

1

2

∴an∈(0，1)∪(1，

3

2

)．⇒bn=an

3-2an

＞0
∴b_n+1²-b_n²=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）
=(

3-an

2

)2an-

a

2 n

(3-2an)=

9

4

an(an-1)2＞0
∴b_n+1²＞b_n²⇒b_n+1＞b_n．
故{b_n}為遞增數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，考查變形構(gòu)造、計(jì)算能力，以及不等式的證明．屬于中檔題．