Question

在△ABC中，下列命題中正確的有：

③⑤

①

AB

-

AC

=

BC

；                
②若

AC

•

AB

＞0，則△ABC為銳角三角形；
③O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

0A

+λ(

AB

+

AC

)，λ∈[0，+∞），則動(dòng)點(diǎn)P一定過△ABC的重心；
④O是△ABC內(nèi)一定點(diǎn)，且

OA

+

OC

+2

OB

=

0

，則

S△AOC

S△ABC

=

1

3

；
⑤若（

AB

丨 AB 丨

+

AC

丨 AC 丨

）•

BC

=0，且

AB

丨 AB 丨

•

AC

丨 AC 丨

=

1

2

，則△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析：根據(jù)平面向量的有關(guān)概念以及平面向量的數(shù)量積以及數(shù)量積的應(yīng)用分別進(jìn)行判斷．

解答：解：①

AB

-

AC

=

CB

．∴①錯(cuò)誤．
②若

AC

•

AB

＞0，則A為銳角，但無法確定B，C的大小，∴△ABC為銳角三角形不正確，∴②錯(cuò)誤．
③由動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

0A

+λ(

AB

+

AC

)，得

AP

=λ(

AB

+

AC

)，即Ap過△ABC的中線，∴P過△ABC的重心．∴③正確．
④解：設(shè)D為AC中點(diǎn)，連結(jié)OD，則OD是△OBC的中線，
∴向量

OD

=

1

2

(

OA

+

OC

)
∵由已知且

OA

+

OC

+2

OB

=

0

得

OB

=-

1

2

(

OA

+

OC

)，
∴向量因

OD

=-

OB

=

BO

，
即B、O、D三點(diǎn)共線，且O為BD的中點(diǎn)
∴△ABD中，AO是BD邊上的中線，可得S_△OAB=S_△OAD．
同理可得△BCD中，S_△OBC=S_△OCD，
∴S_△OAB=S_△OBC=S_△OAD=S_△OCD=S_△OAC
由此可得S_△OAB：S_△OBC：S_△OAC=1：1：2，
∴S_△AOC：S_△ABC=2：4=1：2=

1

2

，∴④錯(cuò)誤．
⑤由（

AB

丨 AB 丨

+

AC

丨 AC 丨

）•

BC

=0，可知角A的角平分線垂直于BC，
∴AB=AC．
由

AB

丨 AB 丨

•

AC

丨 AC 丨

=

1

2

，可得cosA=

1

2

，解得A=

π

3

，
∴△ABC為等邊三角形，∴⑤正確．
故答案為：③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量有關(guān)概念和數(shù)量積的應(yīng)用，要求熟練掌握數(shù)量積的應(yīng)用，比較綜合．