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        1. 如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4.E是PD的中點(diǎn),
          (Ⅰ)求證:平面PDC⊥平面PAD;
          (Ⅱ)求二面角E-AC-D的余弦值;
          (Ⅲ)求直線CD與平面AEC所成角的正弦值

          【答案】分析:法一(Ⅰ)證明平面PDC內(nèi)的直線CD,垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線PA,AD,即可證明CD⊥平面PAD,推出平面PDC⊥平面PAD;
          (Ⅱ)連接AC、EC,取AD中點(diǎn)O,連接EO,說(shuō)明∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角,解三角形EFO求二面角E-AC-D的余弦值;
          (Ⅲ)延長(zhǎng)AE,過(guò)D作DG垂直AE于G,連接CG,說(shuō)明∠DCH是直線與平面所成的角,解三角形DCG,求直線CD與平面AEC所成角的正弦值.
          法二:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
          (Ⅰ)利用,推出CD⊥AD,CD⊥AP,說(shuō)明CD⊥平面PAD,證明平面PDC⊥平面PAD.
          (Ⅱ)求出平面AEC的法向量,平面ABC的法向量,利用求解即可.
          (Ⅲ平面的法向量是,求出,利用,求出直線CD與平面AEC所成角的正弦值
          解答:解:法一:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABC,
          ∴PA⊥CD.(2分)
          ∵ABCD是矩形,∴AD⊥CD.
          而PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.(4分)
          CD?平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD.(5分)
          (Ⅱ)連接AC、EC,取AD中點(diǎn)O,連接EO,則EO∥PA,
          ∵PA⊥平面ABCD,
          ∴EO⊥平面ABCD.
          過(guò)O作OF⊥AC交AC于F,連接EF,
          則∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角.(7分)
          由PA=2,則EO=1.
          在Rt△ADC中,AD×CD=AC×h解得h=
          因?yàn)镺是AD的中點(diǎn),所以.(8分)
          而EO=1,由勾股定理可得.(9分).(10分)

          (Ⅲ)延長(zhǎng)AE,過(guò)D作DG垂直AE于G,連接CG,
          又∵CD⊥AE,∴AE⊥平面CDG,
          過(guò)D作DH垂直CG于H,則AE⊥DH,
          所以DH⊥平面AGC,即DH⊥平面AEC,
          所以CD在平面ACE內(nèi)的射影是CH,∠DCH是直線與平面所成的角.(12分)
          .CD=2

          .(14分)
          解法二:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,
          AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
          則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2).(2分)
          =(2,0,0),=(0,4,0),=(0,0,2),=(-2,0,0),
          =(0,2,1),=(2,4,0). (3分)
          (Ⅰ)∵,∴CD⊥AD.
          又∵,∴CD⊥AP.(5分)
          ∵AP∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,
          而CD?平面PDC,
          ∴平面PDC⊥平面PAD.(7分)
          (Ⅱ)設(shè)平面AEC的法向量=(x,y,z),令z=1,則

          =.(9分)
          平面ABC的法向量=(0,0,2).
          所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是.(11分)
          (Ⅲ)因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄渴?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224651774763831/SYS201311012246517747638017_DA/33.png">=,而=(-2,0,0).
          所以.(13分)
          直線CD與平面AEC所成角的正弦值.(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角,考查空間想象能力,邏輯思維能力,計(jì)算能力,是中檔題.
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          (Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC.

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          (2)求三棱錐P-AEC的體積.

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