Question

如圖，△ABC是斜邊為2的等腰直角三角形，點(diǎn)M，N分別為AB、AC上的點(diǎn)，過(guò)M、N的直線l將該三角形分成周長(zhǎng)相等的兩部分．
（1）問(wèn)AM+AN是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如何設(shè)計(jì)，方能使四邊形BMNC的面積最小？

Answer 1

分析：（1）先求出腰長(zhǎng)，然后根據(jù)過(guò)MN的直線將該三角形分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)部分可求出AM+AN的值；
（2）當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，四邊形BMNC面積最小，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S_△AMN有最大值，從而求出何時(shí)四邊形BMNC面積最�。�

解答：解：（1）△ABC是斜邊為2的等腰直角三角形
∴AB=AC=

BC

2

=

2

∵M(jìn) N分別為AB AC 上的點(diǎn)，過(guò)MN的直線將該三角形分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)部分
∴AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN
∴AM+AN=MB+BC+NC
又（AM+AN）+（MB+BC+NC）=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2

2

∴AM+AN=MB+BC+NC=

2

+1
∴AM+AN為定值
（2）當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，四邊形BMNC面積最小
AM+AN=

2

+1
令A(yù)M=x，則AN=

2

+1-x
S_△AMN=

1

2

AM×AN=

1

2

x（

2

+1-x）=-

1

2

[x²-（

2

+1）x]
當(dāng)x=

2 +1

2

時(shí)，S_△AMN有最大值，四邊形BMNC面積最小
即當(dāng)AM=AN=

2 +1

2

時(shí)，四邊形BMNC面積最小

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力和分析能力，以及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．