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        1. 如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中點.
          (Ⅰ)求證:A1B∥平面AMC1;
          (Ⅱ)求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值;
          (Ⅲ)試問:在棱A1B1上是否存在點N,使AN與MC1成角60°?若存在,確定點N的位置;若不存在,請說明理由.
          分析:(Ⅰ)證明線面平行,可以利用線面平行的判定定理,只要證明 A1B∥OM可;
          (Ⅱ)可判斷BA,BC,BB1兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點與向量,求得平面AMC1的法向量、直線CC1的闡釋,向量,代入向量夾角公式,可求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值;
          (Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的點N,根據(jù)AN與MC1成60°角,利用向量的數(shù)量積,可得結(jié)論.
          解答:證明:(Ⅰ)連接A1C,交AC1于點O,連接OM.
          ∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,
          ∴四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點.
          又∵M為BC中點,
          ∴OM為△A1BC中位線,
          ∴A1B∥OM,
          ∵OM?平面AMC1,A1B?平面AMC1,
          所以 A1B∥平面AMC1.…(4分)
          解:(Ⅱ)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,
          故BA,BC,BB1兩兩垂直.可建立如圖空間直角坐標(biāo)系B-xyz.
          設(shè)BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),M(1,0,0).
          AM
          =(1,-2,0),
          AC1
          =(2,-2,1),
          設(shè)平面AMC1的法向量為
          m
          =(x,y,z),則有
          m
          AM
          =0
          m
          AC1
          =0
          ,即
          x-2y=0
          2x-2y+z=0

          所以取y=1,得
          m
          =(2,1,-2).
          又∵
          CC1
          =(0,0,1)
          ∴直線CC1與平面AMC1所成角θ滿足
          sinθ=
          |
          CC1
          m
          |
          |
          CC1
          |•|
          m
          |
          =
          2
          3

          故直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值為
          2
          3

          解:(Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的點N.
          ∵N在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),
          故可設(shè)N(0,λ,1),其中0≤λ≤2.
          AN
          =(0,λ-2,1),
          MC1
          =(1,0,1).
          ∵AN與MC1成60°角,
          |
          DC1
          AN
          |
          |
          DC1
          |•|
          AN
          |
          =
          1
          (λ-2)2+1
          2
          =
          1
          2

          即,解得λ=1,或λ=3(舍去).
          所以當(dāng)點N為線段A1B1中點時,AN與MC1成60°角.…(12分)
          點評:本題考查線面平行,考查線面夾角,考查存在性問題的探究,解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理,正確運用向量的方法解決線面角、線線角.
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          12
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          2
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          2
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          (Ⅱ)若AC≤
          2
          ,且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
          7
          3
          ,求二面角C-AA'-B的大。

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