Question

已知函數(shù)f（x）=（1-a²）x²-2bx+b²（-1＜b-1＜a）．用card（A）表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，若使得f（x）＞0成立的充分必要條件是x∈A，且card（A∩Z）=4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，2）
• B、（1，2）
• C、（2，3）
• D、（3，4）

Answer 1

分析：由card（A∩Z）=4知A中恰有4個(gè)整數(shù)，
即不等式f（x）＞0的解集中恰有4個(gè)整數(shù)解，
再由f（x）＞0?（x-b）²-（ax）²＞0?[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0求解．
分類(lèi)討論，當(dāng)-1＜a≤1時(shí)，原不等式的解集不符合題意；a＞1求出

3a-3＜4a-4 0＜1+a 3a-3＜1+a 0＜4a-4

的解集即可．

解答：解：依題意A中恰有4個(gè)整數(shù)，所以不等式f（x）＞0的解集中恰有4個(gè)整數(shù)解．
因?yàn)閒（x）＞0?（x-b）²-（ax）²＞0?[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0，
當(dāng)-1＜a≤1時(shí)，原不等式的解集不符合題意；
當(dāng)a＞1時(shí)，[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0?（a-1）（a+1）[x-

b

1-a

][x-

b

1+a

]＜0，
所以

b

1-a

＜x＜

b

1+a

．
因?yàn)?span id="4km67e8" class="MathJye">

b

1+a

∈（0，1），所以

b

1-a

∈（-4，-3）．所以3a-3＜b＜4a-4．
又0＜b＜1+a，所以

3a-3＜4a-4 0＜1+a 3a-3＜1+a 0＜4a-4

解得1＜a＜2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的關(guān)系和不等式的解法，在解題中1-a和1+a處在系數(shù)位置要注意正負(fù)的討論．