Question

設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且Tn=

4-(Sn-p)2

3

，其中p為常數(shù)．
（1）求p的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（3）證明：“數(shù)列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x=1，且y=2”．

Answer 1

分析：（1）n=1時(shí)，由1=

4-(1-p)2

3

求得p的值，再排除p=0的情形即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)p=2時(shí)，Tn=

4

3

-

1

3

(2-Sn)2，再寫(xiě)一式，兩式相減可得3a_n+1=4-S_n+1-S_n，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）分充分性與必要性分別證明，必須搞清證明中的條件與結(jié)論．

解答：（1）解：n=1時(shí)，由1=

4-(1-p)2

3

得p=0或2，
若p=0時(shí)，Tn=

4-Sn2

3

，
當(dāng)n=2時(shí)，1+a22=

4-(1+a2)2

3

，解得a₂=0或a2=-

1

2

，
而a_n＞0，所以p=0不符合題意，故p=2；
（2）證明：當(dāng)p=2時(shí)，Tn=

4

3

-

1

3

(2-Sn)2①，則Tn+1=

4

3

-

1

3

(2-Sn+1)2②，
②-①并化簡(jiǎn)得3a_n+1=4-S_n+1-S_n③，則3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1④，
④-③得an+2=

1

2

an+1（n∈N^*），
又因?yàn)?span id="2hxqdjt" class="MathJye">a2=

1

2

a1，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且an=

1

2n-1

；
（3）證明：充分性：若x=1，y=2，由an=

1

2n-1

知a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2依次為

1

2n-1

，

2

2n

，

4

2n+1

，
滿(mǎn)足2×

2

2n

=

1

2n-1

+

4

2n+1

，即a_n，2^xa_n+₁，2^ya_n+₂成等差數(shù)列；
必要性：假設(shè)a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，又an=

1

2n-1

，
所以2•2x•

1

2n

=

1

2n-1

+2y•

1

2n+1

，化簡(jiǎn)得2^x-2^y-2=1
顯然x＞y-2，設(shè)k=x-（y-2），
因?yàn)閤、y均為整數(shù)，所以當(dāng)k≥2時(shí)，2^x-2^y-2＞1或2^x-2^y-2＜1，
故當(dāng)k=1，且當(dāng)x=1，且y-2=0時(shí)上式成立，即證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用基本量進(jìn)行探索求解、推理分析能力．