Question

【題目】如圖，五面體中，四邊形是菱形， 是邊長(zhǎng)為2的正三角形， ， ．

（1）證明： ；

（2）若在平面內(nèi)的正投影為，求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連，得到，進(jìn)而得出，利用線面垂直的判定定理，證得平面，即得到；

（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由（1）證得平面，所以點(diǎn)是在平面內(nèi)的正投影，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在中，求解面積，在中，得，利用，即可得到結(jié)論.

試題解析：（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連

因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以

又四邊形是菱形， ，所以是正三角形

所以

而，所以平面

所以

（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)

由（1）知，所以

平面，所以平面⊥平面

而平面⊥平面，平面與平面的交線為，

所以平面，即點(diǎn)是在平面內(nèi)的正投影

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面距離為

因?yàn)樵?/span>中， ，得

在中， ，得

所以由得

即

解得 ，所以到平面的距離