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        1. 已知函數(shù)f(x)=log
          1
          3
          x
          ,
          (1)當(dāng)x∈[
          1
          3
          ,3]
          時(shí),求f(x)的反函數(shù)g(x);
          (2)求關(guān)于x的函數(shù)y=[g(x)]2-2ag(x)+3(a≤3)當(dāng)x∈[-1.1]時(shí)的最小值h(a);
          (3)我們把同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”:
          ①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
          ②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q)使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
          (Ⅰ)判斷(2)中h(x)是否為“和諧函數(shù)”?若是,求出p,q的值或關(guān)系式;若不是,請(qǐng)說明理由;
          (Ⅱ)若關(guān)于x的函數(shù)y=
          x2-1
          +t(x≥1)是“和諧函數(shù)”,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
          (1)由y=log
          1
          3
          x
          x=(
          1
          3
          )
          y

          f-1(x)=(
          1
          3
          )
          x
          (-1≤x≤1)

           (2)令t=f-1(x),x∈[-1,1].由(1)知t∈[
          1
          3
          ,3]

          ∴函數(shù)y=[f-1(x)]2-2a[f-1(x)]+3=t2-2at+3   (
          1
          3
          ≤t≤3)

          對(duì)稱軸x=a(a≤3)
          ①a≤
          1
          3
          時(shí),ymin=(
          1
          3
          )
          2
          -
          2a
          3
          +3=
          28
          9
          -
          2a
          3

          1
          3
          <a≤3
          ,ymin=a2-2a2+3=3-a2
          g(a)=
          28
          9
          2a
          3
          (a≤
          1
          3
          )
          3-a2(
          1
          3
          <a≤3)

             (3)對(duì)(2)中g(a)=
          28
          9
          -
          2a
          3
          (a≤
          1
          3
          )
          3-a2(
          1
          3
          <a≤3)
          ,
          易知g(x)在(-∞,3]上單減.
          (3)(I)若g(x)為“和諧函數(shù)”,則g(x)在(-∞,3]上存在區(qū)間[p,q](p<q),使得g(x)在區(qū)間[p,q]
          上的值域?yàn)閇p2,q2].
          ①若p<q≤
          1
          3
          ,g(x)遞減,
           
          28
          9
          -
          2p
          3
          q2
          28
          9
          -
          2q
          3
          =p2
          得p+q=
          2
          3

          這與p<q≤
          1
          3
          矛盾.
          1
          3
          ≤p<q≤3
          時(shí)
          3-p2=q2
          3-q2=p2
          恒成立

          此時(shí)p、q、滿足
          p2+q2=3
          1
          3
          ≤p<q≤3
          ,這樣的p,q存在.
          p<
          1
          3
          ,
          1
          3
          <q≤3
          時(shí),解得p=
          1
          3
          矛盾                     
          ∴(2)中g(shù)(x)是“和諧函數(shù)”,p、q滿足
          p2+q2=3
          1
          3
          ≤p<q≤3

          (II)∵y=
          x2-1
          +t
          在[1,+∞)遞增,有和諧函數(shù)的定義知,該函數(shù)在定義域[1,+∞)內(nèi),存在區(qū)間[p,q](p<q),使得該函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2]
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3-
          3
          2
          ax2-(a-3)x+b

          (1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
          (2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
          f′(x)
          x
          ,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          2
          x2-alnx
          的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
          (1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
          (2)當(dāng)x∈[
          1
          e
          ,e]
          時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
          12
          x2+a
          (a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
          (1)求直線l的方程及a的值;
          (2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          13
          x3+x2+ax

          (1)討論f(x)的單調(diào)性;
          (2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x3-
          32
          ax2+b
          ,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
          (1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
          (2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
          (3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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