Question

已知離心率為

2

2

的橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若某圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且

OA

⊥

OB

，求該圓的方程，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用離心率為

2

2

的橢圓的焦距為4，求出幾何量，即可得到橢圓E的方程；
（2）分類討論，設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，利用該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且

OA

⊥

OB

，即可求出圓的方程，表示出|AB|，即可求|AB|的最大值．

解答：解：（1）由題意，2c=4，

c

a

=

2

2

，∴c=2，a=2

2

∴b²=a²-c²=4，∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且

OA

⊥

OB

，
設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，則△=8（8k²-m²+4）＞0，∴8k²-m²+4＞0
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，只需x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，所以3m²-8k²-8=0，
所以k²=

3m2-8

8

≥0
又8k²-m²+4＞0，所以

m2＞2 3m2≥8

，所以m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
因為直線y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為r2=

m2

1+k2

=

8

3

，
所以所求的圓為x2+y2=

8

3

，此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

；
當(dāng)切線的斜率不存在時切線為x=±

2 6

3

與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點(diǎn)為（

2 6

3

，±

2 6

3

）或（-

2 6

3

，±

2 6

3

）滿足

OA

⊥

OB

，
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=

8

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且

OA

⊥

OB

．
因為x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
所以|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

32 3 (1+ k2 4k4+4k2+1 )

，
當(dāng)k≠0時，|AB|=

32 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4

因為4k2+

1

k2

+4≥8，所以0＜

1

4k2+ 1 k2 +4

≤

1

8

，所以|AB|≤2

3

當(dāng)k=0時，或斜率不存在時，計算得|AB|=

4 6

3

．
綜上可得|AB|max=2

3

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，考查軌跡方程的求法，考查向量知識的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．