Question

【題目】設(shè)正數(shù)、滿足會(huì)且使得關(guān)于的不等式總有實(shí)數(shù)解.試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，求出、應(yīng)滿足的條件.由原不等式得下列的各個(gè)等價(jià)形式：，兩邊同時(shí)平方并整理得. ①

令，則，代入式①得

，

即. ②

下面分3種情形討論：

當(dāng)時(shí)，式②變?yōu)?/span>，有解.

當(dāng)，充分大時(shí)，式②有解.

當(dāng)時(shí)，首先要求判別式，有，

即. ③

令.

由于，所以，方程有兩個(gè)實(shí)根、.因?yàn)?/span>，所以，必有.又因?yàn)閽佄锞�開(kāi)口向上，所以，不等式在時(shí)總是有解.

綜合上述得，、應(yīng)滿足的充分必要條件是， ④

即. ⑤

注意到式⑤與三角恒等式的“相似性”，

故令，.

則 ，

其中，.

令，則. ⑥

當(dāng)時(shí)，由式⑥得，.

當(dāng)時(shí)，由式⑥解得 .

若，則，

即

它等價(jià)于

即矛盾.

故這種情形不可能存在.從而，只有一種可能，

即.

于是，.

這時(shí)有兩種可能：

（1）

或（2）

由（1）可解得，由（2）可解得.

綜上可知，的取值范圍是.

又，所以，的取值范圍是，即能取遍中的每一個(gè)值（與是相互獨(dú)立的）.