Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn ， 且an2+an=2Sn ， n∈N* ．
（1）求a1及an；
（2）求滿足Sn＞210時n的最小值；
（3）令bn=4 ，證明：對一切正整數(shù)n，都有 + + ++ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且an2+an=2Sn，n∈N*．

∴當(dāng)n=1時， ，且a1＞0，解得a1=1，

∵an2+an=2Sn，①，∴ ，②

①﹣②，得： ，

整理，得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

∵an＞0，∴an﹣an﹣1=1，

∴數(shù)列{an}是首項和公差都為1的等差數(shù)列，

∴an=n．

（2）解：∵數(shù)列{an}是首項和公差都為1的等差數(shù)列，an=n．

∴Sn= ，

∵Sn＞210，∴ ，

整理，得n2+n﹣420＞0，解得n＞20（n＜﹣21舍），

∴滿足Sn＞210時n的最小值是21．

（3）證明：由題意得 ，則 ，

∴數(shù)列{ }是首項和公比都是 的等比數(shù)列，

∴ + + ++ = = ．

故對一切正整數(shù)n，都有 + + ++ ＜ ．

【解析】（1）當(dāng)n=1時， ，由此能求出a1=1，由an2+an=2Sn，得 ，從而（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，進(jìn)而數(shù)列{an}是首項和公差都為1的等差數(shù)列，由此能求出an=n．（2）求出Sn= ，由此能求出滿足Sn＞210時n的最小值．（3）由題意得 ，從而數(shù)列{ }是首項和公比都是 的等比數(shù)列，由此能證明對一切正整數(shù)n，都有 + + ++ ＜ ．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識點，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能正確解答此題．