Question

在A、B兩只口袋中均有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，先從A袋中任取2個(gè)球轉(zhuǎn)放到B袋中，再?gòu)腂袋中任取1個(gè)球轉(zhuǎn)放到A袋中，結(jié)果A袋中恰有ξ個(gè)紅球．
（1）求ξ=1時(shí)的概率；
（2）求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知ξ=1表示經(jīng)過(guò)操作以后A袋中只有1個(gè)紅球，含有兩種情形出現(xiàn)：第一先從A中取出1紅和1白，再?gòu)腂中取一白到A中；第二先從A中取出2紅球，再?gòu)腂中取一紅球到A中，寫(xiě)出概率的表示式，得到結(jié)果．
（2）由題意知變量ξ的可能取值是0、1、2、3，根據(jù)第一問(wèn)可以知道當(dāng)變量為1時(shí)的概率，看清變量對(duì)應(yīng)的事件，同第一問(wèn)類似的作出0、2、3對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列和期望．

解答：解：（1）ξ=1表示經(jīng)過(guò)操作以后A袋中只有1個(gè)紅球，有兩種情形出現(xiàn)
①先從A中取出1紅和1白，再?gòu)腂中取一白到A中P=

C 1 2 C 1 2

C 2 4

•

C 1 3

C 1 6

=

12

36

②先從A中取出2紅球，再?gòu)腂中取一紅球到A中P=

C 2 2

C 2 4

•

C 1 4

C 1 6

=

6

36

∴P(ξ=1)=

12

36

+

6

36

=

16

36

=

4

9

．
（2）由題意知變量ξ的可能取值是0、1、2、3
由（1）知P（ξ=1）=

4

9

，
同（1）中計(jì)算方法可知：P(ξ=0)=

2

36

，P(ξ=2)=

16

36

，P(ξ=3)=

2

36

．
∴ξ的概率分布列

∴Eξ=0•

1

18

+1•

8

18

+2•

8

18

+3•

1

18

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查古典概型的概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問(wèn)題，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，是一個(gè)必得分題目．