Question

已知定點(diǎn)及橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ，或    (Ⅱ)

解析:

（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

將代入， 消去整理得    ………….. 2分

設(shè)  則    ………….. 4分

由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，   得，解得，適合.  ….. 5分

所以直線的方程為 ，或 .  ….. 6分

（Ⅱ）解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù).

① 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（Ⅰ）知    

所以

                                    ………….. 8分

將代入，整理得

                           

注意到是與無(wú)關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時(shí)  .. 10分

② 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

當(dāng)時(shí)， 亦有                                         

綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù). ……………….. 12分