Question

已知函數(shù)f(x)=sin²x+2sinxcosx+3cos²x,x∈R,求:

(1)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合;

(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

Answer 1

(1)解析一:∵f(x)=+sin2x+

=2+sin2x+cos2x

=2+sin(2x+),

∴當2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)時,f(x)取得最大值2+.

因此,f(x)取得最大值的自變量x的集合是{x|x=kπ+,k∈c}.

解析二:∵f(x)=(sin²x+cos²x)+sin2x+2cos²x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin(2x+),

∴當2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)時,f(x)取得最大值2+.

因此,f(x)取得最大值的自變量x的集合是{x|x=kπ+,k∈Z}.

(2)解析:f(x)=2+sin(2x+).

由題意得2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

因此f(x)的單調(diào)增區(qū)間是［kπ-,kπ+］(k∈Z).

點評：在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)首先將解析式化簡為y=Asin(ωx+φ)的形式.