Question

給定兩個(gè)長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為90°，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是

2

．

Answer 1

分析：以O(shè)為原點(diǎn)，OA方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)系，分別求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)

OC

=x

OA

+y

OB

，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到x+y的最大值

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A（1，0），B（0，1）
設(shè)∠AOC=α（0≤α≤

π

2

），則

OC

=（cosα，sinα）．
由

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，y）=（cosα，sinα）
則x+y=cosα，sinα=

2

sin（α+

π

4

）（0≤α≤

π

2

），
當(dāng)α+

π

4

=

π

2

時(shí)，即α=

π

4

時(shí)，x+y的最大值是

2

故答案為：

2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，其中建立坐標(biāo)系，分別求出A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，將一個(gè)幾何問題代數(shù)化，是解答本題的關(guān)鍵．