Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最低點為M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用五點作圖法做出f（x）的圖象
（3）說明y=f（x）的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
（4）求函數(shù)的單調遞減區(qū)間
（5）當x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）直接求出函數(shù)的周期T，A以及ω，通過函數(shù)經(jīng)過的特殊點求出φ，得到函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，通過列表，描點，連線畫出函數(shù)的圖象．
（3）利用圖象平移的規(guī)律：左加右減，加減的單位是自變量x的變化的單位；圖象伸縮變換的規(guī)律：橫坐標變?yōu)樽鴺讼祒乘的數(shù)的倒數(shù)；縱坐標變?yōu)槿�角函�?shù)前面乘的數(shù)倍．
（4）找出正弦函數(shù)的一個遞減區(qū)間，令2x+

π

6

屬于這個區(qū)間列出關于x的不等式，再由x的范圍求出不等式的解集，即為函數(shù)的單調遞減區(qū)間．
（5）根據(jù)x的范圍，求出2x+

π

6

的范圍，然后求出函數(shù)值的范圍．

解答：解：（1）由題意可知，T=

π

2

×2=π，A=2，ω=

2π

T

=2，
∵2sin(2•

2π

3

+φ) =-2，∴φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

所以函數(shù)：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
列表


（3）將由y=sinx的圖象向左平移

π

6

，得到函數(shù)y=sin（x+

π

6

）
再橫坐標縮小到原來的

1

2

倍，縱坐標不變得到函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）
再橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫統(tǒng)=2sin（2x+

π

6

）．
（4）∵正弦函數(shù)的單調遞減區(qū)間為[2kπ-

3π

2

，2kπ-

π

2

]，
∴2kπ-

3π

2

≤2x+

π

6

≤-

π

2

+2kπ，
解得kπ-

5π

6

≤x≤kπ-

π

3

，k∈Z；
（5）當x∈[

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，所以f（x）的值域為：[-1，2]．

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，五點法作圖，函數(shù)的單調性的應用，函數(shù)圖象的平移伸縮變換，函數(shù)的最值，可以說一題概括三角函數(shù)的基本知識的靈活應用，考查計算能力．