Question

(經(jīng)典回放)已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145(n∈N₊)

(1)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n＝log_a(1＋)(其中a＞0且a≠1)，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d， 　　由題意，得10×1＋×d＝145， 　　∴d＝3，bn＝3n－2． 　　(2)由bn＝3n－2知， 　　Sn＝loga(1＋1)＋loga(1＋)＋…＋loga(1＋) 　�。�loga[(1＋1)(1＋)…(1＋)]， 　　logabn+1＝loga． 　　因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較(1＋1)(1＋)…(1＋)與的大�。� 　　取n＝1，有(1＋1)＞， 　　取n≥2，有(1＋1)(1＋)…(1＋)＞． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之： 　�、佼�(dāng)n＝1時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立． 　�、诩僭O(shè)當(dāng)n＝k(k∈N+)時(shí)，不等式成立， 　　即(1＋1)(1＋)…(1＋)＞， 　　則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 　　(1＋1)(1＋)…(1＋)[1＋]＞(1＋) 　　＝·(3k＋2)． 　　∵[(3k＋2)]3－()3 　�。�＞0． 　　∴＋1·(3k＋2)＞＝． 　　因此(1＋1)(1＋)…(1＋)[1＋]＞． 　　這說(shuō)明，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 　　由①②知，對(duì)一切n∈N+，不等式(1＋1)(1＋)…(1＋)＞都成立． 　　再由對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得： 　　當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞logabn+1； 　　當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1．