Question

如圖所示：已知橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，A，B是橢圓與斜軸的兩個交點，F(xiàn)是橢圓的焦點，且△ABF為直角三角形．
（1）求橢圓離心率；
（2）若橢圓的短軸長為2，過F的直線與橢圓相交的弦長為

3

2

2

，試求弦所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABF為直角三角形，可得2|OF|=|AB|，從而可得c=b，即c²=a²-c²，從而可得橢圓的離心率；
（2）求出橢圓方程，設(shè)過F的直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程，利用韋達定理，計算弦長，即可求得直線的方程．

解答：解：（1）由題意，∵△ABF為直角三角形，∴2|OF|=|AB|，則
∵A，B是橢圓與短軸的兩個交點，F(xiàn)是橢圓的焦點，
∴c=b，∴c²=a²-c²，
∴a²=2c²，
∴e=

c

a

=

2

2

（2）由題意，F(xiàn)（0，1），b=1，c=1，∴a²=2，
∴橢圓方程為

y2

2

+x2=1
設(shè)過F的直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程，消元可得（k²+2）x²+2kx-1=0
設(shè)交點坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

∴過F的直線與橢圓相交的弦長為

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

×

(- 2k k2+2 )2-4×(- 1 k2+2 )

=

2 2 (k2+1)

k2+2

∵過F的直線與橢圓相交的弦長為

3

2

2

，
∴

2 2 (k2+1)

k2+2

=

3

2

2

∴k=±

2

∴弦所在直線的方程為y=±

2

x+1

點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，聯(lián)立方程，利用韋達定理解題是關(guān)鍵．