Question

已知角A是△ABC的內(nèi)角，向量

m

=(1 ， cos2A)，

n

=(cosA ， 1)，且

m

•

n

=0，f(x)=

3

sin2x+cos2x，
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x+

A

2

)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

•

n

=0，求出cosA的值，再由cosA的值確定角A的大�。�
（Ⅱ）化簡(jiǎn)函數(shù)f(x+

A

2

)的解析式到 2sin（2x+

π

3

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，
求出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

2

≤2kπ+

π

2

，解出x的范圍，即得
函數(shù)f(x+

A

2

)的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(1 ， cos2A)，

n

=(cosA ， 1)，且

m

•

n

=0，
∴cosA+cos2A=0?2cos²A+cosA-1=0，（2分）
∴cosA=

1

2

或cosA=-1，（4分）
∵角A是△ABC的內(nèi)角，∴0＜A＜π，
∴cosA=

1

2

?A=

π

3

（6分）

（Ⅱ）∵f(x)=

3

sin2x+cos2x=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=2sin(2x+

π

6

)（8分）
∴f(x+

A

2

)=2sin(2x+

π

6

+

π

6

)=2sin(2x+

π

3

)（9分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

2

≤2kπ+

π

2

，
得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z（11分）
∴函數(shù)f(x+

A

2

)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]k∈Z（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]．