Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于和兩點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，記與的面積分別為與，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合條件可求得的值，進(jìn)而可求得直線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求得，利用三角形的面積公式可求得，同理可得出的表達(dá)式，然后利用基本不等式可求得的最小值.

（1）直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)在橫軸上，且直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，則斜率一定不能為，所以可設(shè)直線(xiàn)方程為.

聯(lián)立，消去得，

由韋達(dá)定理得，，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，解得.

所以直線(xiàn)的方程為或；

（2）根據(jù)（1），設(shè)直線(xiàn)的方程為.

聯(lián)立，消去得，

由韋達(dá)定理得，，

則.

因?yàn)橹本�(xiàn)與直線(xiàn)垂直，

且當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，則此時(shí)直線(xiàn)的方程為.但此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以不符合題意，所以.

所以直線(xiàn)的斜率為，可得，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.