Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=-2cosx，x∈[0，π]與函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx有下列命題：
①函數(shù)f（x）的圖象不管怎樣平移所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)都不會(huì)是奇函數(shù)；
②方程g（x）=0沒(méi)有零點(diǎn)；
③函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線；
④若函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點(diǎn)Q處的切線，則直線PQ的斜率為

1

2-π

．
其中正確的是

③④

（把所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①函數(shù)向左平移

π

2

個(gè)單位所得的為奇函數(shù)；
②求導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)g（x）在（e^-1，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
③根據(jù)f′（x）=2sinx≤2，g′（x）=x+

1

x

≥2，可得函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線；
④要使函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點(diǎn)Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，故可得結(jié)論．

解答：解：①函數(shù)向左平移

π

2

個(gè)單位所得的為奇函數(shù)，故①錯(cuò)；
②求導(dǎo)函數(shù)g′（x）=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∵g（e^-1）=

1

2e2

-1＜0，g（1）=

1

2

＞0，∴函數(shù)g（x）在（e^-1，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，②錯(cuò)誤；
③因?yàn)閒′（x）=2sinx≤2，g′（x）=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線，③正確；
④要使函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點(diǎn)Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，這時(shí)P（

π

2

，0），Q（1，

1

2

），所以直線PQ的斜率為

1

2-π

，④也正確
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題為載體，考查命題的真假，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查零點(diǎn)存在定理，知識(shí)綜合性強(qiáng)．