Question

已知函數(shù).
⑴求函數(shù)在處的切線方程；
⑵當(dāng)時(shí)，求證：；
⑶若，且對(duì)任意恒成立，求k的最大值.

Answer 1

⑴；⑵詳見(jiàn)解析；⑶的最大值是3.

試題分析：⑴曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，所以求出導(dǎo)數(shù)及切點(diǎn)即得切線方程；⑵不失一般性，左右兩邊作差得：，接下來(lái)用重要不等式比較真數(shù)的大小即可.⑶首先分離參數(shù).由于，所以可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043604353844.png" style="vertical-align:middle;" />.令，則，注意到，則取最大整數(shù)即可.接下來(lái)就利用導(dǎo)數(shù)求則的最小值.
試題解析：⑴
∴故切線斜率
∴所切線方程：.              .3分
⑵由題可知：


∵
∴
∴.   8分
⑶令
令在上單調(diào)遞增.
∵
∴所以存在唯一零點(diǎn)，即.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴在時(shí)單調(diào)遞減；在時(shí)，單調(diào)遞增；
∴
由題意，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043604026445.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的最大值是3.      14分