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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知橢圓C與雙曲線x2-y2=1共焦點,且下頂點到直線x+y-2=0的距離為
          3
          2
          2

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)若一直線l2:y=kx+m與橢圓C相交于A、B(A、B不是橢圓的頂點)兩點,以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點,求證:直線l2過定點,并求出該定點的坐標.
          分析:(1)因為橢圓C與雙曲線x2-y2=1共焦點,所以可根據雙曲線的焦點坐標求出橢圓中的c值,再根據下頂點到直線x+y-2=0的距離為
          3
          2
          2
          ,可求出b的值,利用a,b,c的關系式,就可得到a的值,這樣橢圓C的方程可得.
          (2)把y=kx+m與(10中求出的橢圓方程聯立,求出x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,再根據以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點,所以AQ⊥BQ,求出m的值,就可判斷出直線l2過定點,根據點斜式,求出該定點的坐標.
          解答:解:(1)∵雙曲線x2-y2=1的焦點為F1(-
          2
          ,0),F2(
          2
          ,0)

          ∴橢圓C的焦點為F1(-
          2
          ,0),F2(
          2
          ,0)

          設橢圓的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,
          由題意得
          |-b-2|
          2
          =
          3
          2
          2
          ,解得b=1
          .∴a=
          3

          ∴橢圓的方程為
          x2
          3
          +y2=1

          (2)橢圓的上頂點為Q(0,1),
          由方程組
          y=kx+m
          x2
          3
          +y2=1
          x2
          3
          +(kx+m)2=1
          ,
          (
          1
          3
          +k2)x2+2kmx+m2-1=0

          ∵直線l2:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點,
          △=4k2m2-4(
          1
          3
          +k2)(m2-1)=4(k2-
          1
          3
          m2+
          1
          3
          )>0

          即3k2-m2+1>0.
          設A、B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
          x1+x2=-
          6km
          1+3k2
          x1x2=
          3(m2-1)
          1+3k2
          ,
          y1+y2=k(x1+x2)+2m=
          2m
          1+3k2

          y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
          =
          3k2(m2-1)
          1+3k2
          -
          6k2m2
          1+3k2
          +m2=
          m2-3k2
          1+3k2

          ∵以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點Q(0,1),
          ∴AQ⊥BQ,∴x1x2+(y1-1)(y2-1)=0,
          即x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0
          3(m2-1)
          1+3k2
          +
          m2-3k2
          1+3k2
          -
          2m
          1+3k2
          +1=0
          ,
          化簡得2m2-m-1=0,
          m=1或m=-
          1
          2

          當m=1時,直線l2:y=kx+1過定點Q(0,1),與已知矛盾;
          m=-
          1
          2
          時,滿足3k2-m2+1>0,
          此時直線l2:y=kx-
          1
          2
          過定點(0,-
          1
          2
          )
          ,
          ∴直線l2過定點(0,-
          1
          2
          )
          點評:本題考查了橢圓方程的求法,以及直線與橢圓位置關系的判斷,做題時要認真分析.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2007•河北區(qū)一模)已知橢圓C的方程為 
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1 
          (a>b>0),過其左焦點F1(-1,0)斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點.
          (Ⅰ)若
          OP
          +
          OQ
          a
          =(-3,1)共線,求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)已知直線l:x+y-
          1
          2
          =0,在l上求一點M,使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長,求點M的坐標和此雙曲線E的方程.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓C與雙曲線
          x2
          2
          -
          y2
          6
          =1
          有相同焦點F1和F2,過F1的直線交橢圓于A、B兩點,△ABF2的周長為8
          3
          .若直線y=t(t>0)與橢圓C交于不同的兩點E、F,以線段EF為直徑作圓M.
          (1)求橢圓C的標準方程;
          (2)若圓M與x軸相切,求圓M被直線x-
          3
          y+1=0
          截得的線段長.

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          科目:高中數學 來源:湖南省師大附中2011-2012學年度高二上學期期中考試數學文科試題(人教版) 題型:044

          已知橢圓與雙曲線有公共焦點,且離心率為.A,B分別是橢圓C的左頂點和右頂點.點S是橢圓C上位于x軸上方的動點.直線AS,BS分別與直線l分別交于M,N兩點.

          (1)求橢圓C的方程;

          (2)延長MB交橢圓C于點P,若PS⊥AM,試證明MS2=MB·MP.

          (3)當線段MN的長度最小時,在橢圓C上是否存在點T,使得△TSB的面積為?若存在確定點T的個數,若不存在,說明理由.

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          科目:高中數學 來源:2010年廣西貴港市、柳州市、欽州市4月高考數學模擬試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知橢圓C與雙曲線x2-y2=1共焦點,且下頂點到直線x+y-2=0的距離為
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)若一直線l2:y=kx+m與橢圓C相交于A、B(A、B不是橢圓的頂點)兩點,以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點,求證:直線l2過定點,并求出該定點的坐標.

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