Question

（2012•江蘇）在△ABC中，已知

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

．
（1）求證：tanB=3tanA；
（2）若cosC=

5

5

，求A的值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)已知的等式左右兩邊，然后兩邊同時(shí)除以c化簡(jiǎn)后，再利用正弦定理變形，根據(jù)cosAcosB≠0，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可得到tanB=3tanA；
（2）由C為三角形的內(nèi)角，及cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，進(jìn)而再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式求出tan（A+B）的值，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將tanB=3tanA代入，得到關(guān)于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．

解答：解：（1）∵

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

，
∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，
由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

得：sinBcosA=3sinAcosB，
又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，
在等式兩邊同時(shí)除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；
（2）∵cosC=

5

5

，0＜C＜π，
sinC=

1-cosC2

=

2 5

5

，
∴tanC=2，
則tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-2，
將tanB=3tanA代入得：

tanA+3tanA

1-3tan2A

=-2，
整理得：3tan²A-2tanA-1=0，即（tanA-1）（3tanA+1）=0，
解得：tanA=1或tanA=-

1

3

，
又coaA＞0，∴tanA=1，
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．