Question

已知定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），當(dāng)-2≤x＜0時，f（x）=2^x，若an=f(n)(n∈N*)，則a₂₀₁₂=

0

．

Answer 1

分析：根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)又關(guān)于某直線x=a≠0對稱，則它又是周期函數(shù)，可求得函數(shù)f（x）的周期是8，進而得到答案．

解答：解：∵f（2+x）=f（2-x），以2+x代替上式中的x得f（4+x）=f（-x），
又函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∴f（4+x）=f（-x）=-f（x），
再以4+x代替上式中的x得f（8+x）=-f（4+x）=f（x），由此可知：函數(shù)f（x）是以8為周期的函數(shù)，
∴a₂₀₁₂=f（2012）=f（251×8+4）=f（4），而f（4）=-f（0）=0，
∴a₂₀₁₂=0．
故答案是0．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性及周期性，深刻理解函數(shù)的以上性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．同時知道結(jié)論：定義在R上的奇函數(shù)又關(guān)于某直線x=a≠0對稱，則它又是周期函數(shù)．