Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓 有相同的焦點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2）若動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，問(wèn)：以線段為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）先求出橢圓的焦點(diǎn)為，則由題設(shè)有，從中解出可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓相切，故聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用判別式為零得到和，又，設(shè)，則對(duì)任意的恒成立，但，因此，從而也就是點(diǎn)符合題意．

解析：（1）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）聯(lián)立消去，得， 所以，即．

設(shè)，則， ，即．

假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，因?yàn)?/span>，則， ，所以，

恒成立，故解得 所以存在點(diǎn)符合題意．