Question

（2013•牡丹江一模）對于函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x+sin2x(x∈R)，有以下幾種說法：
（1）（

π

12

，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心；
（2）函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
（3）函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上單調(diào)遞增．
（4）y=f（x）的一條對稱軸x=

π

3

．其中說法正確的個數(shù)是（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：先將函數(shù)化為一個角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．
（1）代入法求得對稱中心驗證（1）是否正確；
根據(jù)正弦函數(shù)的最小正周期判斷（2）是否正確；
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，利用代入解不等式求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷（3）是否正確；
根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸，判斷x=

π

3

是否為對稱軸，判斷（4）是否正確．

解答：解：f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

-

1

2

cos2x=

10

2

（sin2x×

3 10

10

-cos2x×

10

10

）+

1

2

=sin（2x-θ）+

1

2

．（tanθ=

1

3

，0＜θ＜

π

2

）．
（1）函數(shù)的對稱中心是（

kπ

2

+

θ

2

，0），∵tan

π

12

=2-

3

，∴（1）錯誤；
（2）∵函數(shù)的最小正周期是π，∴（2）錯誤；
（3）∵tanθ=

1

3

＜

3

3

=tan

π

6

，∴0＜θ＜

π

6

，-

π

4

+

θ

2

＜x＜

π

4

+

θ

2

＜

π

3

，∴在[

π

4

+

θ

2

，

π

3

]上遞減，∴（3）錯誤；
（4）x=

π

3

，2x+θ=

2π

3

+θ≠kπ+

π

2

，k∈Z．∴（4）錯誤．
故選A

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查兩角和與差的正弦函數(shù)及特稱角的三角函數(shù)．