Question

【題目】在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，以軸的非負半軸為極軸，選擇相同的單位長度建立極坐標系，圓極坐標方程為.

（Ⅰ）當時，求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；

（Ⅱ）直線與圓的交點為、，證明：是與無關(guān)的定值.

Answer 1

【答案】（1）直線的普通方程為，圓的直角坐標方程為；（2）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)當時，消去得到直線的普通方程，由圓極坐標方程，根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，即可得到原的直角坐標方程．

(Ⅱ)將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，，得，由的幾何意義可求得的值．

試題解析：

(Ⅰ)當時，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

消去得．由圓極坐標方程為，得．

故直線的普通方程為圓的直角坐標方程為．

(Ⅱ)將代入得，．

設(shè)其兩根分別為，則．

由的幾何意義知 ．故為定值(與無關(guān)) .