Question

已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍；
（3）若另一條直線l經(jīng)過點(diǎn)P（-2，0）及線段AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，知a=b，由雙曲線焦點(diǎn)（）到漸近線x±y=0的距離為1，知，由此能求出雙曲線方程．
（2）設(shè)A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，得（1-k²）x²-2kx-2=0，因與左支交于兩點(diǎn)，則，由此能求出k的取值范圍．
（3）AB的中點(diǎn)為（），所以直線l的方程為（x+2），令x=0，得b==，由此能求出b的取值范圍．
解答：解：（1）∵雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，
∴a=b，
∵雙曲線焦點(diǎn)（）到漸近線x±y=0的距離為1，
∴，
解得a=b=1，
∴雙曲線方程為x²-y²=1．
（2）設(shè)A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，得
（1-k²）x²-2kx-2=0，
因與左支交于兩點(diǎn)，則
∴
解得1＜k＜．
（3）AB的中點(diǎn)為（），
即（），
∴直線l的方程為（x+2），
令x=0，得b==，
∵，
∴．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．