Question

17、（1）求77⁷⁷-7被19整除所得的余數(shù)；
（2）求1.02⁵的近似值（精確到0.01）．

Answer 1

分析：（1）77=4×19+1=76+1，故77⁷⁷=（76+1）⁷⁷展開式按照76的降冪排列，前邊的項(xiàng)均能被19整除，故只需考慮最后一項(xiàng)即可．
（2）1.02⁵=（1+0.02）⁵展開式按照0.02的升冪排列，次數(shù)越高，越接近于0，可忽略不計(jì)．當(dāng)精確到0.01時，只需取展開式的前三項(xiàng)和即可．

解答：解：（1）∵77=76+1=4×19+1，
∴77⁷⁷-7=（76+1）⁷⁷-7=C₇₇⁰•76⁷⁷+C₇₇¹•76⁷⁶++C₇₇⁷⁶•76+C₇₇⁷⁷•1-7
=76（C₇₇⁰•76⁷⁶+C₇₇¹•76⁷⁵++C₇₇⁷⁶）-19+（19-6），所以余數(shù)是19-6=13．
（2）1.02⁵=（1+0.02）⁵=1+C₅¹•0.02+C₅²•0.02²+C₅³•0.02³+C₅⁴•0.02⁴+C₅⁵•0.02⁵，
∵C₅²•0.02²=4×10^-3=0.004，
C₅³×0.02³=8×10^-5，
∴當(dāng)精確到0.01時，只需取展開式的前三項(xiàng)和為：
1+0.10+0.004=1.104．則近似值為1.10．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，處理整除問題和近似計(jì)算問題，綜合性較強(qiáng)．