Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線與相交于兩點(diǎn)，求過兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）曲線的普通方程為， 的直角坐標(biāo)方程為；（2）

【解析】試題分析：（1）利用消參和極坐標(biāo)公式，化參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程為普通方程；（2）直線和橢圓相交，聯(lián)立求中點(diǎn)即為圓心，弦長即為直徑， 所以過兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

試題解析：（1）由消去參數(shù)，得，

即曲線的普通方程為，

由，得，即，即．

即曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）過兩點(diǎn)且面積最小的圓是以線段為直徑的圓，令．

由，得，

所以，所以圓心坐標(biāo)為，

又因為半徑，

所以過兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．