Question

 

函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）證明：對(duì)任意，的圖象恒過定點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否存在極值？若存在,求出極值；若不存在,說明理由；

（3）若對(duì)任意時(shí)，恒為定義域上的增函數(shù)，求的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）令，得，且，

所以的圖象過定點(diǎn)；  

（2）當(dāng)時(shí)，， 

令，經(jīng)觀察得有根，下證明無其它根．

，當(dāng)時(shí)，，即在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

所以有唯一根；且當(dāng)時(shí)，，在 上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；

所以是的唯一極小值點(diǎn)．極小值是．

（3），令

由題設(shè)，對(duì)任意，有，，

又   

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；

所以當(dāng)時(shí)，有極小值，也是最小值，

又由得，得，即的最大值為．