Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）-t²+t＜0對一切x∈（1，4）恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：曲線f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為一值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，建立方程，可求得a=1，b=3，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）-t²+t＜0對一切x∈（1，4）恒成立，即f（x）＜t²-t對一切x∈（1，4）恒成立，求出函數(shù)的最大值，則問題轉(zhuǎn)化為f（x）＜t²-t對一切x∈（1，4）恒成立，等價于

13

4

≤t²-t，從而可求t的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)（x₀，x0-

3

x0

）為曲線f（x）上任一點，求出切線方程為，令x=0，可得y=-

6

x0

，切線方程與直線y=x聯(lián)立，求得交點橫坐標(biāo)為x=2x₀，計算曲線f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)可得：f′(x)=a+

b

x2

∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
∴f（2）=

1

2

∴a+

b

4

=

7

4

，2a-

b

2

=

1

2

∴a=1，b=3
∴f（x）的解析式為f(x)=x-

3

x

；
（Ⅱ）解：f（x）-t²+t＜0對一切x∈（1，4）恒成立，即f（x）＜t²-t對一切x∈（1，4）恒成立
∵x∈（1，4），f′(x)=1+

3

x2

＞0
∴函數(shù)f（x）在（1，4）上單調(diào)增，且f(4)=4-

3

4

=

13

4

∴f（x）＜t²-t對一切x∈（1，4）恒成立，等價于

13

4

≤t²-t
即t²-t-

13

4

≥0
∴t≤

1- 14

2

或t≥

1+ 14

2

（Ⅲ）證明：設(shè)（x₀，x0-

3

x0

）為曲線f（x）上任一點，則切線的斜率為1+

3

x02

，
切線方程為y-（x0-

3

x0

）=(1+

3

x02

)(x-x0)，令x=0，可得y=-

6

x0

切線方程與直線y=x聯(lián)立，求得交點橫坐標(biāo)為x=2x₀
∴曲線f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值

1

2

×|2x0|×|-

6

x0

|=6．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是確定切線的方程．