Question

（本題滿分14分）給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．
（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓的伴隨圓相交于M、N兩
點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)是橢圓的伴隨圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：⊥.

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e9/7/u3fv71.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以橢圓的方程為，
伴隨圓的方程為.                        ……………………………… 4分
（2）設(shè)直線的方程，由得 
由得，圓心到直線的距離為 
所以。                    ……………………………… 8分
（3）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c4/a/uhgzi1.gif" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，
當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與伴隨圓交于點(diǎn)
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的另一條直線是(或，即為(或，顯然直線垂直；    
同理可證方程為時(shí)，直線垂直.          ……………………………… 10分
②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，
由，消去得到，
即， ，
經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/96/a/1w8jj4.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以有，
設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/17/a/4w5le2.gif" style="vertical-align:middle;" />與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以是關(guān)于的方程：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
因而，即⊥.                         ……………………………… 14分

解析