Question

已知圓C過兩點(diǎn)A（1，-1），B（2，-2），且圓心C在直線2x-y-4=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)P是直線3x-4y-5=0上的動(dòng)點(diǎn)，PM，PN是圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求四邊形PMCN面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓C過兩點(diǎn)A（1，-1），B（2，-2），利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可求得圓心與半徑，從而可得圓C的方程；
（2）四邊形PMCN的面積是兩個(gè)三角形的面積的和，因?yàn)镃M⊥PM，CM=1，顯然PM最小時(shí)，四邊形面積最小，此時(shí)PC最小，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，2a-4），則
∵圓C過兩點(diǎn)A（1，-1），B（2，-2），
∴

(a-1)2+(2a-3)2

=

(a-2)2+(2a-2)2

∴a=1，∴圓心坐標(biāo)為（1，-2）圓的半徑為1
∴圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=1；
（2）解：由題意過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，
可知四邊形PMCN的面積是兩個(gè)三角形的面積的和，因?yàn)镃M⊥PM，CM=1，
顯然PM最小時(shí)，四邊形面積最小，此時(shí)PC最小
∵P是直線3x-4y-5=0上的動(dòng)點(diǎn)，
∴PC_最小值=

|3+8-5|

9+16

=

6

5

，
∴PM_最小值=

36 25 -1

=

11

5

∴四邊形PMCN面積的最小值為2×

1

2

×

11

5

×1=

11

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．