Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R，a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a=﹣1時，若方程f（x）= 有實根，求b的最小值；
（2）設(shè)F（x）=f（x）e﹣x ， 若F（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣1時，f（x）=x2+x﹣lnx，

f′（x）=2x﹣1﹣ = ．

當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．

∴f（x）≥f（1）=0．

由f（x）= ，得b=xf（x），

又x＞0，∴b≥0．

即b的最小值為0

（2）解：F（x）=f（x）e﹣x，

F′（x）= ．

設(shè)h（x）= ．

則h′（x）=﹣2x+ ，可知h′（x）在（0，1]上為減函數(shù)．

從而h′（x）≥h′（1）=2﹣a．

①當(dāng)2﹣a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在區(qū)間（0，1]上為增函數(shù)，

∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x）≤0在區(qū)間（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0在區(qū)間（0，1]上恒成立．

∴F（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，故a≤2滿足題意；

②當(dāng)2﹣a＜0，即a＞2時，設(shè)函數(shù)h′（x）的唯一零點為x0，則h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，1）上單調(diào)遞減．

又∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x0）＞0．

∴F（x）在（x0，1）上單調(diào)遞增，

∵h(yuǎn)（e﹣a）＜0，∴F（x）在（0，e﹣a）上遞減，這與F（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)矛盾．

∴a＞2不合題意．

綜合①②得：a≤2

【解析】（1）把a(bǔ)=﹣1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)的零點，求得原函數(shù)的最值，把f（x）= 轉(zhuǎn)化為b=xf（x），則b的最小值可求；（2）求出F′（x）= ．設(shè)h（x）= ，可得h′（x）≥2﹣a．然后分a≤2和a＞2研究F（x）在區(qū)間（0，1]上是否為單調(diào)函數(shù)，從而求得a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．