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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
          (1)求證:AC⊥平面BB1C1C;
          (2)在A1B1上是否存一點(diǎn)P,使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行?證明你的結(jié)論.
          分析:(1)為證AC⊥平面BB1C1C,須證AC垂直面內(nèi)兩條相交直線:BB1和BC即可.前者易證,后者利用計(jì)算方法證明即可.
          (2)設(shè)P為A1B1的中點(diǎn),證明DCB1P為平行四邊形,即可證明存在點(diǎn)P,滿足題意.
          解答:證明:(1)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.(2分)
          又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,
          AC=
          2
          ,∠CAB=45°,∴BC=
          2
          ,∴BC⊥AC.(4分)
          又BB1∩BC=B,BB1,BC?平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.(7分)

          (2)存在點(diǎn)P,P為A1B1的中點(diǎn).(8分)
          證明:由P為A1B1的中點(diǎn),有PB1‖AB,且PB1=
          1
          2
          AB.(10分)
          又∵DC‖AB,DC=
          1
          2
          AB,∴DC∥PB1,且DC=PB1
          ∴DCB1P為平行四邊形,從而CB1∥DP.
          又CB1?面ACB1,DP?面ACB1,∴DP‖面ACB1.(12分)
          同理,DP‖面BCB1.(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的性質(zhì),直線與平面垂直的性質(zhì),考查空間想象能力,邏輯思維能力.
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