Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+2x²，其中a＞0
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為-2時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=3代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍�線的切點(diǎn)為（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間 （-2，0）內(nèi)是減函數(shù)，即導(dǎo)數(shù)在區(qū)間 （-2，0）內(nèi)恒小于0由二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化出關(guān)于參數(shù)的不等式，解出a的取值范圍．
（Ⅲ）先求導(dǎo)f′（x）=ax²+4x=x（ax+4），再對a進(jìn)行分類討論：當(dāng)-1≤-

4

a

，當(dāng)-

4

a

＜-1；分別求得f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值，從而列出關(guān)于a的方程即可求得a=12．

解答：解：（Ⅰ）a=3時(shí)f（x）=x³+2x²
f′（x）=3x²+4x，f′（1）=7，f（1）=3，
∴所求的切線方程為：y-3=7（x-1）
即7x-y-4=0
（Ⅱ）f'（x）=ax²+4x
若函數(shù)f（x）在區(qū)間 （-2，0）內(nèi)是減函數(shù)，
則f′（x）＜0在區(qū)間 （-2，0）內(nèi)恒成立，
即ax²+4x＜0?ax+4＞0?a＜-

4

x

在區(qū)間 （-2，0）內(nèi)恒成立，
則 a＜2
a的取值范圍a＜2；
（Ⅲ）f（x）=

1

3

ax³+2x²∴f′（x）=ax²+4x=x（ax+4）
因a＞0，f′（x）＞0，x＜-

4

a

或x＞0，f′（x）＜0，-

4

a

＜x＜0
y=f（x）在x＜-

4

a

或x＞0上單調(diào)增，在-

4

a

＜x＜0上單調(diào)減．
當(dāng)-1≤-

4

a

即a≥4時(shí)y=f（x）在[-1，-

4

a

]，[0，1]上單調(diào)增，在[-

4

a

，0]上單調(diào)減，f（x）的最小值在x=-1或x=0時(shí)取到，
f（0）=0不符合題意，f（-1）=-

1

3

a+2，a=12
當(dāng)-

4

a

＜-1即0＜a＜4時(shí)y=f（x）在[0，1]上單調(diào)增，在[-1，0]上單調(diào)減
∴y=f（x）的最小值在x=0取到    
而f（0）=0≠-2（舍）
∴a=12．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．