Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義域為（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(1)=

1

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定義證明：f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）若實數(shù)t滿足f（2t-1）+f（t-1）＜0，求實數(shù)t的范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，再據(jù)f(1)=

1

2

可求出a的值．
（2）利用增函數(shù)的定義可以證明，但要注意四步曲“一設(shè)，二作差，三判斷符號，四下結(jié)論”．
（3）利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)及f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，可求出實數(shù)t的范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義域為（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴b=0；…（3分）
又f（1）=

1

2

，∴a=1；…（5分）
∴f(x)=

x

1+x2

…（5分）
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則x₂-x₁＞0，
于是f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，
又因為-1＜x₁＜x₂＜1，則1-x₁x₂＞0，

x

2 1

+1＞0，

x

2 2

+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1）； …（6分）
又由已知函數(shù)f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)，∴f（-t）=-f（t）…（8分）
∴f（2t-1）＜f（1-t）…（3分）
由（2）可知：f（x）是（-1，1）上的增函數(shù)，…（10分）
∴2t-1＜1-t，t＜

2

3

，又由-1＜2t-1＜1和-1＜1-t＜1得0＜t＜

2

3

綜上得：0＜t＜

2

3

…（13分）

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，充分理解以上性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．利用已證結(jié)論解決問題是常用的方法，注意體會和使用．