Question

設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，．
(Ⅰ) 求的取值范圍；
(Ⅱ) 若，求的最大值（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

(Ⅰ) 的取值范圍是．(Ⅱ) 的最大值是．

解析試題分析：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/96/a/1cgjs2.png" style="vertical-align:middle;" />，．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/91/6/ztbb81.png" style="vertical-align:middle;" />和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以、就是方程有兩個(gè)不等的正根（其中）．由此可求得的范圍故，并且可找到、與之間的關(guān)系，從而可以用表示出來(lái)，這樣根據(jù)的范圍便可求出 的范圍.
(Ⅱ)首先是怎樣的一個(gè)式子？
.
.這個(gè)式子中的都是變量，能否變成一個(gè)？
由題設(shè)可得，這樣，由此可令，從而
.接下來(lái)就根據(jù)的范圍求出的范圍，進(jìn)而求出 的范圍．
試題解析：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/96/a/1cgjs2.png" style="vertical-align:middle;" />，．  1分
依題意，方程有兩個(gè)不等的正根，（其中）．故
，              3分
并且 ．
所以，

故的取值范圍是．              6分
(Ⅱ)解:當(dāng)時(shí)，．若設(shè)，則
．
于是有


構(gòu)造函數(shù)（其中），則．
所以在上單調(diào)遞減，．
故的最大值是．                 14分
考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等關(guān)系.