Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓上，已知AB∥EF，AB=BC=4，AE=EF=BF=2，AD=2．
直角梯形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直．
（Ⅰ）求證：平面CBE⊥平面DAE；
（Ⅱ）求平面CDF與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證平面CBE⊥平面DAE，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面CBE內(nèi)一直線與平面DAE垂直，
欲證BE⊥平面DAE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BE與平面DAE內(nèi)兩相交直線垂直，
AD⊥BE，AE⊥BE，AE∩AD=A，滿足定理?xiàng)l件；
（2）連接OE，OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在的直線為y軸，垂直于OB的直線分別為x軸、z軸建立坐標(biāo)系，
求出平面ABCD的一個(gè)法向量為

n1

以及平面CDF的一個(gè)法向量為

n2

，
求出兩法向量的余弦值即可得到平面CDF與平面ABCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）連接BE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形，
所以AD⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABFE
所以AD⊥平面ABFE，所以AD⊥BE，
因?yàn)锳B為O的直徑，所以AE⊥BE，
又AE∩AD=A，所以BE⊥平面DAE，
又BE?平面CBE，所以平面CBE⊥平面DAE．
（2）如圖，因?yàn)锳E=EF=BF=2，連接OE，OF，
則△OEF是邊長為2的等邊三角形，以O(shè)為原點(diǎn)，
OB所在的直線為y軸，垂直于OB的直線分別為x軸、
z軸建立如如圖所示的坐標(biāo)系，則有
A（0，-2，0），B（0，2，0），C（0，2，4），
D（0，-2，2），F(xiàn)（

3

，1，0），
易得平面ABCD的一個(gè)法向量為

n1

=（1，0，0），
設(shè)平面CDF的一個(gè)法向量為

n2

=（x，y，z），
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

CD

=（0，-4，-2），

CF

=（

3

，-1，-4），
則由

n1 • CD  =0 n2 • CF =0

可得

2y+z=0 3 x-y-4z=0

，令y=1，
得

n2

=（-

7

3

，1，-2），
所以cos＜

n1

，

n2

＞=-

7

8

．
結(jié)合圖形，易知平面CDF與平面ABCD所成角的余弦值為

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及二面角的度量，空間向量是理科生需要掌握的，屬于基礎(chǔ)題．