Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（2-x）+f（x）=0和f（x-2）+f（x）=0，且當x∈[1，2]時f（x）=1-（x-2）²．若直線y=kx（k為常數），與函數f（x）的圖象在區(qū)間（-2，5）上恰有4個公共點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A、（2

  15

  -8，0）
• B、（2

  3

  -4，0）
• C、（-

  1

  2

  ，0）
• D、（-

  1

  4

  ，0）

Answer 1

分析：依題意，可求得y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱；①是偶函數；②是以4k（k∈Z且k≠0）為周期的函數；③函數f（x）關于直線x=2對稱，④；依此作圖，及可求得答案．

解答：解：∵f（2-x）+f（x）=0，
∴y=f（x）的圖象關于（1，0）成中心對稱對稱；①
又f（x-2）+f（x）=0，
∴f（2-x）=f（x-2）=f[-（2-x）]，
∴函數f（x）為偶函數；②
又f（x-2）+f（x）=0，
∴f（x-2）=-f（x），
∴f（x-4）=-f（x-2）=f（x），
∴函數f（x）是以4k（k∈Z且k≠0）為周期的函數；③
由函數f（x）為偶函數得：f（2-x）+f（x）=0?f（2+x）+f（-x）=0?f（2+x）+f（x）=0，
∴f（2+x）=f（2-x），即函數f（x）關于直線x=2對稱，④
又當x∈[1，2]時f（x）=1-（x-2）²，
∴由①②③④作圖如下：

由圖知，當k＞0時，直線y=kx（k為常數）與函數f（x）的圖象在區(qū)間（-2，5）上恰有3個公共點，不符合題意；
∴k＜0，令y=g（x）=kx，
則g（4）=4k＞-1，
解得：-

1

4

＜k＜0．
故選：D．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的零點與方程根的關系，考查函數的對稱性、周期性、奇偶性的綜合應用，考查轉化思想與作圖能力，屬于難題．