Question

（2013•無為縣模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x³-

1

2

ax²+3x+5（a＞0）．
（1）已知f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若a=2，且當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=3x²-ax+3，f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≥0或f′（x）≤0，從而可得當(dāng)0＜a≤6時(shí)，判別式△=a²-36=（a-6）（a+6）≤0對(duì)x∈R恒成立；
（2）a=2，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-ax+3，判別式△=a²-36=（a-6）（a+6）．
∵f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0
∵f′（x）=3x²-ax+3開口向上，∴f′（x）≥0
∴△≤0，解得-6≤a≤6
又∵a＞0，∴0＜a≤6，
即0＜a≤6時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）a=2，f′（x）=3x²-2x+3＞0恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)遞增
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增
∴f（x）_max=f（2）=15
∵當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤m恒成立，
∴m≥15
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[15，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．