Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱BC，DD₁上的點，給出下列命題：
①在平面ABF內總存在與直線B₁E平行的直線；
②若B₁E⊥平面ABF，則CE與DF的長度之和為2；
③存在點F使二面角B₁-AC-F的大小為45°；
④記A₁A與平面ABF所成的角為α，BC與平面ABF所成的角為β，則α+β的大小與點F的位置無關．
其中真命題的序號是

②④

． （寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①在平面CD₁內，過點F作FG∥CD，則ABCF四點共面，連接BG，可知直線B₁E與平面ABF總相交；
②利用B₁E⊥平面ABF，可以證明△B₁EB≌△BGC，所以CG=BE，從而可得CE與DF的長度之和為2；
③連接AC，CF，BD，B₁A，B₁C，AC∩BD=0，則FO⊥AC，B₁O⊥AC，從而∠B₁OF為二面角B₁-AC-F的平面角．由于點F在點D₁處時，∠B₁OD₁＞45°，故可得結論；
④確定AD與平面ABF所成的角為β，從而可知∠A₁AF=α，∠DAF=β，α+β=90°，故可得結論

解答：解：①在平面CD₁內，過點F作FG∥CD，則ABCF四點共面，連接BG，則BG與B₁E一定相交，即直線B₁E與平面ABF總相交，故①為假命題；
②B₁E⊥平面ABF，則B₁E⊥BG，△B₁EB≌△BGC，∴CG=BE，∵CG=DF，BE+CE=2，∴CE與DF的長度之和為2，故②為真命題；
③連接AC，CF，BD，B₁A，B₁C，AC∩BD=0，則FO⊥AC，B₁O⊥AC，∴∠B₁OF為二面角B₁-AC-F的平面角
當點F在點D₁處時，D₁O=B₁O=

6

，B₁D₁=2

2

，∴cos∠B1OD1=

6+6-8

2× 6 × 6

=

2

3

＜

2

2

，∴∠B₁OD₁＞45°
∴不存在點F使二面角B₁-AC-F的大小為45°，故③為假命題；
④∵BC∥AD，BC與平面ABF所成的角為β，∴AD與平面ABF所成的角為β
∵平面ABF⊥平面D₁A，∴∠A₁AF=α，∠DAF=β，∴α+β=90°，∴α+β的大小與點F的位置無關，故④為真命題
綜上知，真命題的序號是②④
故答案為：②④

點評：本題以正方體為載體，綜合考查線面、面面位置關系，考查線面角、面面角，解題時需要一一進行驗證，很容易出錯．