Question

已知遞增等比數列{b_n}滿足b₂•b₄=64，b₅=32，數列{a_n}滿足．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列c_n=na_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵遞增等比數列{b_n}滿足b₂•b₄=64，b₅=32，設公比為q，則有 q⁵=64，且 b₁q⁴=32，
解得 b₁=2，q=2，b_n=2ⁿ．
再由 {a_n}滿足，可得 a_n=b_n+=2ⁿ+．
（Ⅱ）∵數列c_n=na_n，∴c_n =n 2ⁿ+．
∴數列{c_n}的前n項和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+
令 s=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ ①，則 2s=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹ ②．
①-②可得-s=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴s=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，∴T_n=s+=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+．
分析：（Ⅰ）設公比為q，則由題意可得 q⁵=64，且 b₁q⁴=32，解得 b₁ 和 q的值，可得等比數列{b_n}的通項公式，再由 {a_n}滿足，求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由數列c_n=na_n，可得數列{c_n}的通項公式，從而求得數列{c_n}的前n項和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+．令 s=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，用錯位相減法求出s的值，即可求得 T_n=s+ 的值．
點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的前n項和公式，用錯位相減法對數列進行求和，屬于中檔題．