Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知3S₃=4a₃-a₁，且a₂+a₃=20．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；   
（2）設(shè)b_n=a_n+n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意可得 q≠1，由3×

a1(1-q3)

1-q

=4a1q2-a₁，且a₁q+a1q2=20，求出首項(xiàng)和公比，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)b_n=a_n+n=4^n-1+n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出 數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n 的值．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意可得 q≠1．
再由 3×

a1(1-q3)

1-q

=4a1q2-a₁，且a₁q+a1q2=20，
化簡得 3（1+q+q²）=4q²-1，且 a₁=

20

q+q2

．
解得

a1=1 q=4

，故通項(xiàng)公式為 a_n=1×4^n-1=4^n-1．
（2）∵b_n=a_n+n=4^n-1+n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n =（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n）=

1×(1-4n)

1-4

+

n(n+1)

2

=

4n-1

3

+

n2+n

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．