Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、DD₁的中點，則AA₁與平面AEF所成角的余弦值為（　　）

• A、

  6

  6

• B、

  3

  6

• C、

  6

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：設(shè)正方形邊長為a，點A₁到面AEF的距離為h，根據(jù)四棱錐A-BEF的體積V=

1

3

S_△AEFh=

1

3

S_△AA1Fd求出，h=

6

3

，
可得AA₁與平面AEF所成角的正弦值為

6

3

，進而得到答案．

解答：解：設(shè)正方形邊長為a，則S_△AEF=

1

2

×EF×

AC

2

=

6 a2

4

，
S_△AA1F=

1

2

×a× a=

1

2

a2，
令點A₁到面AEF的距離為h，
因為點E到面AA₁F的距離d=a，則
四棱錐A-BEF的體積V=

1

3

S_△AEFh=

1

3

S_△AA1Fd
所以h=

6

3

，
所以AA₁與平面AEF所成角的正弦值為

6

3

．
所以AA₁與平面AEF所成角的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，也可以建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間直線與平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．