Question

已知焦點在x軸上的橢圓C過點（0，1），且離心率為

3

2

，Q為橢圓C的左頂點．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）已知過點(-

6

5

，0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點．
（�。┤糁本�l垂直于x軸，求∠AQB的大��；
（ⅱ）若直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得△QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)a²=b²+c²，橢圓C過點（0，1），離心率為

3

2

，即可求得橢圓C的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（�。┊�(dāng)直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x=-

6

5

，與橢圓方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，可得直線AQ的斜率、直線BQ的斜率，即可求得∠AQB的大小；
（ⅱ）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+

6

5

）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及向量的數(shù)量積，可得△QAB為直角三角形，假設(shè)存在直線l使得△QAB為等腰三角形，計算

QM

•

NM

，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），且a²=b²+c²．
由題意，橢圓C過點（0，1），離心率為

3

2

，可知：b=1，

c

a

=

3

2

．…（2分）
所以a²=4．
所以，橢圓C的標(biāo)準方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（�。┊�(dāng)直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x=-

6

5

．
由

x=- 6 5 x2 4 +y2=1

，解得

x=- 6 5 y=± 4 5

即A（-

6

5

，

4

5

），B（-

6

5

，-

4

5

）（不妨設(shè)點A在x軸上方）．…（5分）
則直線AQ的斜率1，直線BQ的斜率-1．
因為直線AQ的斜率與直線BQ的斜率乘積為-1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB=

π

2

．…（6分）
（ⅱ）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，由題意可設(shè)直線AB的方程為y=k（x+

6

5

）（k≠0）．
由

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

消去y得：（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
因為點（-

6

5

，0）在橢圓C的內(nèi)部，顯然△＞0．

x1+x2=- 240k2 25+100k2 x1x2= 144k2-100 25+100k2

              …（8分）
因為 

QA

=（x₁+2，y₁），

QB

=（x₂+2，y₂），y₁=k（x₁+

6

5

），y₂=k（x₂+

6

5

），
所以

QA

•

QB

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（2+

6

5

k2）（x₁+x₂）+4+

36

25

k2
=（1+k²）×

144k2-100

25+100k2

+（2+

6

5

k2）（-

240k2

25+100k2

）+4+

36

25

k2=0
所以 

QA

⊥

QB

．
所以△QAB為直角三角形．…（11分）
假設(shè)存在直線l使得△QAB為等腰三角形，則|QA|=|QB|．
取AB的中點M，連接QM，則QM⊥AB．
記點（-

6

5

，0）為N．
另一方面，點M的橫坐標(biāo)xM=-

24k2

5+20k2

，
所以點M的縱坐標(biāo)yM=

6k

5+20k2

．
所以

QM

•

NM

=（

10+16k2

5+20k2

，

6k

5+20k2

）•（

6

5+20k2

，

6k

5+20k2

）=

60+132k2

(5+20k2)2

≠0
所以 

QM

與

NM

不垂直，矛盾．
所以當(dāng)直線l與x軸不垂直時，不存在直線l使得△QAB為等腰三角形．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理進行求解．