Question

（重慶市2011屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)合診斷性考試文科）已知函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b
（1）當(dāng)f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b時(shí)，求函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b的單調(diào)區(qū)間：
（2）若函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b的圖象過點(diǎn)（1，1）且極小值點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù) f′（x），并將導(dǎo)函數(shù)分解因式變形為 f′（x）=（x-1）（ax-1），便于解不等式，再確定討論標(biāo)準(zhǔn)，由于解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，需比較a與0，1的大小，故確定分當(dāng)a＞1，當(dāng)a=1，當(dāng)0＜a＜1，當(dāng)a=0，當(dāng)a＜0五種情況討論，最后分別在五種情況下解含參數(shù)的一元二次不等式即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）先由函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b的圖象過點(diǎn)（1，1），代入得b=

a+3

6

，再結(jié)合（1）中的討論，若極小值點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，需

0＜a＜1 1＜ 1 a ＜2

，從而解得a的范圍，最后求一次函數(shù)b=

a+3

6

的值域即可得b的范圍

解答：解：（1）∵f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）
當(dāng)a＞1時(shí)，0＜

1

a

＜1，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜

1

a

，由f′（x）＜0，得

1

a

＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，

1

a

），（1，+∞）；減區(qū)間為（

1

a

，1）
當(dāng)a=1時(shí)，∵f′（x）=（x-1）²≥0，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

1

a

＞1，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞

1

a

，由f′（x）＜0，得1＜x＜

1

a

，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（

1

a

，+∞），（-∞.1）；減區(qū)間為（1，

1

a

）
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=（1-x），由f′（x）＞0，得x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1）；減區(qū)間為（1，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，

1

a

＜0，由f′（x）＞0，得

1

a

＜x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1或x＜

1

a

，，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（

1

a

，1）；減區(qū)間為（-∞，

1

a

），（1，+∞）
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，

1

a

），（1，+∞）；減區(qū)間為（

1

a

，1）
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（

1

a

，+∞），（-∞.1）；減區(qū)間為（1，

1

a

）
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1）；減區(qū)間為（1，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（

1

a

，1）；減區(qū)間為（-∞，

1

a

），（1，+∞）
（2）∵函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b的圖象過點(diǎn)（1，1）
∴1=

a

3

-

a+1

2

+1+b，∴b=

a+3

6

∵f（x）極小值點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，由（1）可知

0＜a＜1 1＜ 1 a ＜2

∴

1

2

＜a＜1
∴

7

12

＜

a+3

6

＜

2

3

∴

7

12

＜b＜

2

3

點(diǎn)評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，分類討論的思想方法，熟練的解含參數(shù)的一元二次不等式是解決本題的關(guān)鍵